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卒業研究について

専攻

非線形解析学, 主に非線形偏微分方程式, 実解析学, 幾何学的測度論

卒研分野

基本的には解析学. 微分幾何学も少々(微々たるものですが)

卒研内容

「方程式を解く」というと, 解の公式に代入するということが中学, 高校の数学では多いのですが, 微分方程式は特殊な方程式を除いては, 解の公式を作ることが難しいです. そのため, 解の公式を作るのではなく, 方程式の性質そのものから, 解の性質を調べることが重要になります. 卒業研究では, どのように解の性質を調べるか？そのためにどのような手法があるか？を主に勉強します.

セミナーでは, 数学を理解することも重要ですが, どこがわかって, どこがわかっていないかが理解できることがより重要です. さらに, わかったという感覚もいろいろあって, 「やっている計算がわかった」, 「どうしてこんな計算をしているのかがわかった」, 「どうして, こんな主張が成り立つのかがわかった」 など千差万別です. 卒業研究では, 「やっている計算がわかった, わからない」がきちんと判断できることを最初の目標にして, 余裕があれば, さらに先のわかる, わからないを理解できるようになってもらえればと思います.

テキスト

大学院進学を考えている学生には, 将来英語の文献を参照することを考えて, 英語に慣れてもらうことと, 計算力をつけてもらうことを目標にします. 具体的には

1. Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010.
2. Alberto Bressan Lecture Notes on Functional Analysis: With Applications to Linear Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2013.
3. Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, 2nd edition , American Mathematical Society, 2001.
4. Walter Rudin, Real and complex analysis , McGraw-Hill, 1987.
5. Lawrence C. Evans and Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions , CRC Press, 1992.

進学を考えていない方は, 微分積分や線形代数学を使って発展的な話題を垣間見れそうな本を考えています(出来るだけ, Lebesgue積分や関数解析学を使わない本を選んでいます). たとえば

• 微分方程式
  • Shigeaki Koike, A Beginner's Guide to the Theory of Viscosity Solutions, Second edition, 2010.
    偏微分方程式の粘性解理論の入門書. 英語ですが, 読みやすいです.
  • 儀我 美一, 儀我 美保, 非線形偏微分方程式: 解の漸近挙動と自己相似解, 共立出版, 1999.
    例えば, 温度分布は時間がたつとどのようになるか？を偏微分方程式を使って, どのように調べればよいかが書かれています.
  • 神保 秀一, 偏微分方程式入門, 共立出版, 2006.
    偏微分方程式の導出とその特徴をわかりやすくまとめてあります. 後半は筆者の研究分野である, 領域の摂動と固有値問題について書かれています.
  • スタンリー・ファーロウ 著, 伊理正夫, 伊理由美 訳 偏微分方程式: 科学者・技術者のための使い方と解き方, 朝倉書店, 1997.
    偏微分方程式をどのように解くか？を中心に述べられています. 厳密ではないところもありますが, 偏微分方程式を研究するうえで重要な手法が多く述べられています.
  • Lawrence C. Evans, Partial differential equations, 2nd edition, American Mathematical Society, 2010.
    非常に分厚いですが, とても丁寧に書かれている偏微分方程式論の入門書. 英語ですが, とても読みやすいです.
  • Lev Semenovich Pontriagin, 千葉 克裕 訳, 常微分方程式 , 共立出版, 1963.
    常微分方程式の解を解くのではなく, 調べることに重点がおかれています. また, 工学向けの応用もあって, どういうことに微分方程式が使われるかの説明もあります.
  • 高橋 陽一郎, 力学と微分方程式 , 岩波書店, 2004.
    上のPontriaginの「常微分方程式」はとてもおもしろいのですが, 初学者には少しとっつきにくいところがあるかもしれません. この本の内容としては, Pontriaginの「常微分方程式」とそれほど違いはないです.
• Advanced Calculus (あまりいい邦訳がありませんが, 高等解析学？)
  • Ernst Hairer and Gerhard Wanner, 蟹江 幸博 訳 解析教程 上, 解析教程 下, Springer, 2006.
    微分積分学を歴史の順に従って学ぶという本. 演習問題もなかなか面白いので, 時間があるようなら, 演習問題も考えてみます.
  • Michael Spivak, 齋藤 正彦 訳 多変数の解析学: 古典理論への現代的アプローチ, 東京図書, 2007.
    この本は多様体(曲面とか曲線)上の微積分のアイデアを説明しています. ベクトル解析をきちんと再構成するための本です.
  • 深谷 賢治, 電磁場とベクトル解析 , 岩波書店, 2004.
    Spivakと同じく, ベクトル解析を幾何学の立場から勉強する本です. また, ベクトル解析と関係の深い電磁場の話もあります.
  • 志賀 浩二, ベクトル解析30講 , 朝倉書店, 1989.
    Spivakと同じく, ベクトル解析を幾何学の立場から勉強する本です. こちらは多様体への入口として, ベクトル解析の説明があります.
  • 寺沢 寛一, 自然科学者のための数学概論 , 岩波書店, 1983.
    古典ではあるが名著の一つ. どちらかというと数学を利用して物理や化学, 工学を研究するための座右の書といった感じがしますが, 興味深い内容がたくさんあります. この本のどれか一章, たとえば, 「実函数の変分」をじっくり読んでみたいです.
• 曲線論と曲面論
  • 小林 昭七, 曲線と曲面の微分幾何 , 裳華房, 1995.
    曲線論と曲面論を丁寧に解説しています. この本は解析学というよりは, 幾何学になります.
  • 中内 伸光, じっくり学ぶ曲線と曲面: 微分幾何学初歩 , 共立出版, 2005.
    「曲線と曲面の微分幾何」は名著ですが, 少し難しいかもしれません. この本の方が厚さはありますが, 易しいと思います.
• Fourier解析
  • 高橋 陽一郎, 実関数とフーリエ解析 , 岩波書店, 2006.
    Fourier解析は理工学でとても重要な手法ですが, 数学的な理解はなかなか大変です. Lebesgue積分を使うのが標準的ですが, この本では, 微分積分の範囲でFourier解析を学びます.
  • エリアス・M. スタイン, ラミシャカルチ 著, 新井仁之, 杉本充, 高木啓行, 千原浩之 訳 フーリエ解析入門 , 日本評論社, 2007.
    Fourier解析はもともとはFourierによる級数展開によるものですが, 現在は解析学だけでなく, 数学の幅広い分野で使われています. それらの応用にも目を向けられた, プリンストンでのStein教授の講義を勉強します.
  • E. クライツィグ 著, 近藤次郎, 阿部寛治, 堀素夫 訳 フーリエ解析と偏微分方程式 , 培風館, 2003.
    Fourier変換やLaplace変換が常微分方程式や偏微分方程式でどのように使われるかを計算主体で勉強できます. 厳密さよりも計算できることに重点を置いています.

応募条件

特に条件はありません. ただ, 解析学や現代解析学を受講していない方は, 今からでも構いませんので, 受講を強く勧めます. 勉強したいという意思を持っている方はだれでも歓迎します. 大学院進学を希望している学生は, 事前にメールなどで連絡してください.

使った/使っているテキスト

• 2023年度
  • 堀之内 總一，酒井 幸吉，榎園 茂， Cによる数値計算法入門(第2版)新装版, 森北出版，2015．
  • 井口 和之，辻 真吾， Pythonで理解する微分積分の基礎 (Python × Math), 技術評論社，2022．
  • 河村 哲也，桑名 杏奈， Pythonによる数値計算入門, 朝倉書店，2021．
  • 橋本 修，毛塚 敦， Pythonによる数値計算法の基礎, 森北出版，2021．
  • 今井 功， 流体力学, 岩波書店，1993.
• 2022年度
  • Shigeaki Koike, A Beginner's Guide to the Theory of Viscosity Solutions, Mathematical Society of Japan, 2004.
  • マーク・M・メアーシェーアート, 佐藤 一憲, 梶原 毅, 佐々木 徹, 竹内康博, 宮崎 倫子, 守田 智 訳, 数理モデリング入門 ファイブ・ステップ法, 共立出版, 2015.
  • 松田雄馬, 露木宏志, 千葉彌平, AI・データサイエンスのための図解でわかる数学プログラミング, ソーテック社, 2021.
  • 橋本洋志, 牧野浩二, Pythonコンピュータシミュレーション入門: 人文・自然・社会科学の数理モデル, オーム社, 2021.
• 2021年度
  • Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, 2nd edition , American Mathematical Society, 2001.
  • Michael Spivak, Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus, Avalon Publishing, 1971.
  • Ernst Hairer and Gerhard Wanner, 蟹江 幸博 訳, 解析教程 上, 解析教程 下, Springer, 2006.
  • David Burghes and Morag Borrie, 垣田 高夫, 大町 比佐栄 訳 微分方程式で数学モデルを作ろう, 日本評論社, 1990.
• 2020年度
  • Lawrence Craig Evans and Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition, CRC Press, 2015.
  • Steven G. Krantz, A Guide to Functional Analysis, The Mathematical Association of America, 2013.
  • 相川 弘明, 複素関数入門, 共立出版, 2016.
  • 谷島 賢二, 数理物理入門, 東京大学出版会, 2018.
• 2019年度
  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction , Princeton University Press, 2011.
  • K. J. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Cambridge University Press, 1986.
  • 寺沢 寛一, 自然科学者のための数学概論 , 岩波書店, 1983.
  • 深谷 賢治, 電磁場とベクトル解析 , 岩波書店, 2004.
  • 柳田英二, 中木達幸, 三村昌泰, 理工系の数理 数値計算, 裳華房, 2014.
• 2018年度
  • Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, 2nd edition , American Mathematical Society, 2001.
  • 田島 一郎, 解析入門, 岩波書店, 1981.
• 2016年度
  • Adam Bowers and Nigel J. Kalton, An Introductory Course in Functional Analysis, Springer, 2014.
  • Lawrence Craig Evans and Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition, CRC Press, 2015.
  • David Burghes and Morag Borrie, 垣田 高夫, 大町 比佐栄 訳 微分方程式で数学モデルを作ろう, 日本評論社, 1990.
  • 小林昭七, 円の数学, 裳華房, 1999.
  • 渋谷仙吉, 内田伏一, 偏微分方程式, 裳華房, 2000.
  • 西川青季, 等長地図はなぜできない : 地図と石鹸膜の数学 , 日本評論社, 2014.
• 2015年度
  • Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Dover Publications, 2003.
  • E. クライツィグ 著, 近藤次郎, 阿部寛治, 堀素夫 訳, フーリエ解析と偏微分方程式, 培風館, 2003.
  • 小島 寛之, 完全独習 統計学入門, ダイヤモンド社, 2006.
  • 東京大学教養学部統計学教室, 統計学入門, 東京大学出版会, 1991.
  • Ernst Hairer and Gerhard Wanner, 蟹江 幸博 訳, 解析教程 上, 解析教程 下, Springer, 2006.
• 2014年度
  • J\"urgen Jost, 小谷 元子 訳 ポストモダン解析学, Springer, 2009.
  • 松元 幸夫 多様体の基礎, 東京大学出版会, 1988.
  • Ernst Hairer and Gerhard Wanner, 蟹江 幸博 訳, 解析教程 上, 解析教程 下, Springer, 2006.
• 2013年度
  • Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010.
  • Elliott H. Lieb and Michael Loss, Analysis, 2nd edition , American Mathematical Society, 2001.
  • 儀我 美一, 儀我 美保, 非線形偏微分方程式: 解の漸近挙動と自己相似解, 共立出版, 1999.
  • 神保 秀一, 偏微分方程式入門, 共立出版, 2006.
  • Ernst Hairer and Gerhard Wanner, 蟹江 幸博 訳, 解析教程 上, 解析教程 下, Springer, 2006.

卒業後の進路先

• 就職先
  • 株式会社 FBS
  • グローバルテクノロジーサービス株式会社
  • ソフトウェア情報開発株式会社
  • 千葉興業銀行
  • 日本アイ・ビー・エム テクニカル・ソリューション 株式会社
  • 社会保険診療報酬支払基金
  • 株式会社アイヴィス
  • 株式会社丸井グループ
  • 株式会社キクチ
  • 株式会社ヘルスベイシス
  • 横浜市公立中学校・高等学校 教員
  • 東京都公立中学校・高等学校 教員
  • 浦安市中学校教員(臨任採用)
  • 千葉日本大学第一中学校・高等学校(非常勤講師)
  • 日本大学高等学校(非常勤講師)
• 進学先
  • 日本大学大学院理工学研究科
  • 茨城大学大学院教育学研究科
  • 慶應義塾大学大学院理工学研究科
  • 埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報専攻 数学コース
  • 千葉大学大学院教育学研究科
  • 新潟大学大学院自然科学研究科
  • 北海道大学 大学院理学院 数学専攻
  • アミューズメントメディア総合学院

選考について

希望人数が多い場合の選考について, 口頭試問を行います. 希望人数が多くなければ, 全員決定になります.

• 大学院志望かそうでないかで, 判断基準が異なります.
• 今までの成績(GPAなど)はあまり参考にしませんが, 単位取得が順調かどうかは選考に使います.